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当局者迷，旁观者清。

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GMOJ S3993 【Magic】

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Description

给你一个有 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，对于任意一个点 $i$，都有两个权值 $a_i$ 和 $b_i$，你可以花费 $b_i$ 的费用将这个点的 $a_i$ 变成 0。另外，对于图中的每个点你需要付出 $w_i = \max_{(i, j) \in E} a_j$ 的费用。求代价和的最小值。

Solution

考虑使用 网络流 来解题。

因为最大流等于最小割，所以我们可以想出连边方式：

为了方便表述，下文用 $i’$ 来表示点 $i$ 拆出去的点（可能有多个）。

对于每个点 $i$，连一条 $S$ 到 $i$ ，容量为 $b_i$ 的边。

对于点 $u$ 连出去的所有点 $v_1, v_2, …, v_k(a_{v_1} \leq a_{v_2} \leq … \leq a_{v_k})$，连一条从 $v_i’$ 从 $v_{i + 1}’(1 \leq i < k)$，容量为 $a_{v_i}’$ 的边。

对于点 $v_k’$，连一条从 $v_k’$ 到 $T$ 的容量为 $a_{v_k}$ 的边。

对于每个点 $i$，连一条从 $i$ 到 $i’$ （可能有多个 $i’$，全部都要连）的流量为正无穷的边。

其中 $S$ 表示的是原点，$T$ 表示的是汇点。

想一想，如果我们割掉了一条容量为 $a_i$ 的边，表示我们让它当最大值，若割掉了一条边权为 $b_i$ 的边，则表示让 $a_i = 0$，此时则需要割掉一条边权为 $a_j(a_j \leq a_i)$ 的边来使汇点的流量为 0，即一个割。

那么正确性显然。

Code

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#include <cstdio>
#include <cstring>
#define maxN 1010
#define maxM 300010
#define inf 2147483647
struct edge{ int x, y, c, g; } b[maxM << 1];
int len = 1, S = 0, T = 0;
int dep[maxM << 1], f[maxM << 1];
int A[maxN], B[maxN], X[maxM], Y[maxM], h[maxM << 1];
int min (int x, int y)
{
	return x < y ? x : y;
}
void ins (int x, int y, int c)
{
	len++;
	b[len].x = x;
	b[len].y = y;
	b[len].c = c;
	b[len].g = h[x];
	h[x] = len;
	
	len++;
	b[len].x = y;
	b[len].y = x;
	b[len].c = 0;
	b[len].g = h[y];
	h[y] = len;
}
void px (int l, int r)
{
	int x = l, y = r, mid1 = X[(l + r) >> 1], mid2 = A[Y[(l + r) >> 1]];
	while(x <= y)
	{
		while(X[x] < mid1 || (X[x] == mid1 && A[Y[x]] < mid2))
		{
			x++;
		}
		while(X[y] > mid1 || (X[y] == mid1 && A[Y[y]] > mid2))
		{
			y--;
		}
		if(x <= y)
		{
			int t = X[x];
			X[x] = X[y];
			X[y] = t;
			
			t = Y[x];
			Y[x] = Y[y];
			Y[y] = t;
			
			x++;
			y--;
		}
	}
	if(l < y)
	{
		px(l, y);
	}
	if(x < r)
	{
		px(x, r);
	}
}
bool bfs ()
{
	const int M = (maxM << 1);
	int tou = 1, wei = 2;
	f[1] = S;
	dep[S] = 1;
	while(tou != wei)
	{
		int x = f[tou];
		for(register int i = h[x];i;i = b[i].g)
		{
			int y = b[i].y;
			if(b[i].c && !dep[y])
			{
				dep[y] = dep[x] + 1;
				f[wei] = y;
				wei++;
				if(wei >= M)
				{
					wei = 1;
				}
				if(y == T)
				{
					return true;
				}
			}
		}
		tou++;
		if(tou >= M)
		{
			tou = 1;
		}
	}
	return false;
}
int dfs (int x, int flow)
{
	if(x == T)
	{
		return flow;
	}
	int now = flow;
	for(register int i = h[x];i;i = b[i].g)
	{
		int y = b[i].y;
		if(b[i].c && dep[y] == dep[x] + 1)
		{
			int ma = min(now, b[i].c);
			now -= ma;
			b[i].c -= ma;
			b[i ^ 1].c += ma;
			int rest = ma - dfs(y, ma);
			now += rest;
			b[i].c += rest;
			b[i ^ 1].c -= rest;
		}
	}
	return flow - now;
}
int main ()
{
	int n = 0, m = 0;
	scanf("%d %d", &n, &m);
	T = n + m + 1;
	for(int i = 1;i <= n; i++)
	{
		scanf("%d", &A[i]);
	}
	for(int i = 1;i <= n; i++)
	{
		scanf("%d", &B[i]);
	}
	for(int i = 1;i <= m; i++)
	{
		scanf("%d %d", &X[i], &Y[i]);
	}
	px(1, m);
	for(int i = 1;i <= n; i++)
	{
		ins(S, i, B[i]);
	}
	int now = 1, cnt = n;
	for(int i = 1;i <= n; i++)
	{
		while(X[now] < i && now <= m)
		{
			now++;
		}
		if(now > m)
		{
			continue;
		}
		int last = 0;
		int Yz = 0, Az = 0;
		while(X[now] == i && now <= m)
		{
			cnt++;
			if(last)
			{
				ins(last, cnt, Az);
			}
			last = cnt; 
			Yz = Y[now];
			Az = A[Y[now]];
			ins(Yz, cnt, inf);
			now++;
		}
		if(last)
		{
			ins(cnt, T, Az);
		}
	}
	int Ans = 0;
	while(bfs())
	{
		Ans += dfs(S, inf);
		memset(dep, 0, sizeof(dep));
	}
	printf("%d", Ans);
	return 0;
}